[视野] 佯谬:推理的迷宫

  “佯谬”又叫做“悖论”,是指从看似正确的前提出发,经过看似正确的逻辑论证却得到了荒谬结论的那种矛盾命题。在通常所说的佯谬中,有一些佯谬,经过认真分析,总可以发现其前提或逻辑包含有错误,这一类佯谬是“疑似佯谬”。然而也有一些佯谬,你不得不承认其前提和逻辑都是正确的,却不知为何同时得到了两种相反的结论。这一类佯谬是“真佯谬”。

  [奥伯斯佯谬]

  宇宙无限,浩瀚无际。如果在宇宙的任何地方都以同样的方式分布着发光的恒星的话,那么,向夜空的无论哪一个方向望去,你的视线都必定会碰到恒星。诚然,一颗恒星的亮度与其离地球的距离的平方成反比,会随距离的增加而变暗。但是,在离地球同样的距离,恒星的数目却会与距离成正比而增多。因此,即使地球的夜晚一侧也会受到无穷多颗恒星发出的光线的照射,夜空应该如同白昼,依然是一片亮光。

  这是在早期探讨宇宙的结构时曾经提出过的一种诘问。这个问题是由德国天文学家海因里希·奥伯斯首先提出来的,因而被称为“奥伯斯佯谬”。

  然而,实际的夜空明明是暗黑的。这个疑似佯谬究竟错在哪里呢?答案是,到达地球的光只能是来自有限范围的恒星。宇宙是在大约137亿年前诞生出来的。光的行进速度是一个有限值。在地球上只能观测到所在距离比光在137亿年行进距离更近的那些恒星所发出的光。正是误以为有无穷多数目恒星发出的光来到我们地球,才导致了这个疑似佯谬。

  [阿基里斯和乌龟佯谬]

  在这个佯谬中出现了希腊神话中的一位擅长奔跑的英雄阿基里斯。在阿基里斯的前方有一只缓慢爬行的乌龟,可是他却永远也追不上它。

  假定那只乌龟在阿基里斯前方100米处开始爬行。为了讨论的方便,假定阿基里斯的奔跑速度是10秒钟跑100米。乌龟爬行的速度是每秒1米。

  阿基里斯一起动,10秒后就能够到达乌龟开始爬行的位置。不过,在这10秒钟,乌龟已经向前爬行了10米。因此,在10秒钟后阿基里斯到达乌龟先前所在的100米位置时,乌龟已经在他的前方10米处。这10米不算什么,阿基里斯1秒钟后就能追上。可是,在这1秒钟,乌龟又向前爬行了1米,仍然在他的前方……

  如此看来,无论阿基里斯怎样追赶,乌龟总是在他的前方,阿基里斯永远也追不上乌龟。问题出在哪里呢?实际计算一下就会知道,阿基里斯追上乌龟所需要的时间是10+1+0,1+0,01+…=11.11…(秒),求和得到的是一个有限值。这就是说,阿基里斯只需要比11秒稍多一点时间就会追赶上乌龟。产生这个疑似佯谬是由于误以为无穷多个数的求和计算得到的结果必定是无穷大。

  [克里特岛人全是说谎者佯谬]

  古希腊有一位叫做埃庇米尼得斯的预言家,有一句据说是他说过的话一直流传至今。他说:“克里特岛人全都是说谎者。”

  问题在于,埃庇米尼得斯自己也是克里特岛人。若把埃庇米尼得斯的这句话当成真话,那么埃庇米尼得斯是该岛居民的一员,于是他也是一位说谎者。由于这句话出自埃庇米尼得斯之口,这样一来,“克里特岛人全都是说谎者”这句话便是谎话。这就同一开始把这句话当成真话相矛盾。

  反之,若把埃庇米尼得斯的这句话当成谎话,那么,“克里特岛人就未必全都是说谎者”。于是,作为克里特岛人的埃庇米尼得斯就有可能是一位正直的讲真话的人。然而,这又同一开始把埃庇米尼得斯当成一位说谎者自相矛盾。结果,克里特岛人究竟是说谎者还是正直的人仍然无法得知。

  [薛定谔猫佯谬]

  原子一类微观粒子具有与我们的常识很不相同的性质,有些元素的原子,比如说铀原子,它们的原子核经过一定时间会发生衰变而向外发出放射线。按照量子论,可以把这样的原子视为“共存”于原子核发生了衰变的状态和没有发生衰变的状态。原子核究竟是否发生衰变,要在实际进行观测时才能够确定。

  现在假定有一只看不见内部的箱子,里面放有一个放射线检测器、与它联动的一个毒气发生装置和一只猫,在放射线检测器的前面还放置有一块含有会发出放射线的铀原子的矿石。如果铀原子核发生衰变而发出放射线,检测器会检测到这种反应,并立即使联动的毒气发生装置释放出毒气,将猫杀死。

  在这种安排下,在没有打开箱子查看时,“箱子内部的铀共存于原子核发生了衰变的状态和没有发生衰变的状态”。如
此说来,在箱子内部的“猫也应该是共存于死去的状态和活着的状态”。

  这是物理学家薛定谔为了说明应该如何诠释由量子论引出的不可思议的结论而构想的一个假想实验。有许多研究者认为,事实上,“在检测器检测到放射线时,原子核是否发生了衰变就已经被确定,因而那只猫的生死是确定的”。不过,对于量子论的诠释至今也还没有一个统一的看法。

  [希尔伯特无穷大饭店佯谬]

  德国数学家戴维·希尔伯特曾经考虑过一个十分有趣的由假想的一家拥有无穷多套客房的“无限饭店”引出的问题。

  某一天,一家有无穷多套客房的饭店已经住满了房客。这时,又来了一位客人,无处可去,要求这家无限饭店无论如何也要为他提供一套客房。饭店经理想了一个办法,终于安顿了这位客人。经理说服所有的房客全都从自己现在住的那套编号房间转移到另一套编号更大的房间里去。比如说,1号房的客人转移到2号房,2号房的客人转移到3号房……原来住下的无穷多位客人全都如此转移,结果腾出1号房,让新来的客人住了进去。

  又有一天,这家已经住满了无穷多个房客的无限饭店一下子又拥来了无穷多位新客人,要求入住。这家饭店是否有能力继续接纳如此多的新客人呢?

  饭店经理自有办法。他说服已有的全部房客,每个人都从自己居住的房间转移到编号为原来房间编号2倍的房间。举例说,1号房客转移到2号房间,2号房客转移到4号房间,3号房客转移到6号房间……这样一来,原来的房客全都住进了编号为偶数的房间,空出来编号为单数的无穷多套客房,饭店经理便可以有条不紊地将新来的无穷多位客人安排住进这些房间。

  这个故事中,无限饭店经理的做法在数学上毫无问题,之所以成为疑似佯谬,是因为它同我们对无限的日常直觉相悖。我们从日常接触的有限世界得到的知识是,比如从1~10的自然数(10个),其中偶数的个数(5个)只能比相应的自然数的个数少。然而在无限世界,全部偶数和全部自然数却能够一一对应,这两个集合的大小是相同的。这个性质,仅凭直觉,会觉得不可思议。

  [合作还是背叛困境(囚徒困境)]

  这是一个双人纸牌游戏,每人手上都只有两张牌,一张是“合作”,另一张是“背叛”。

  假定你就是游戏者之一,你和对手的手中都各持有“合作”和“背叛”两张牌。在出牌时,你必须想好是与对手合作出一样的牌好还是背叛他出相反的牌好。你的对手也必须想好是与你合作好还是背叛你好。当然,两人不能串通,不会知道对方出什么牌。作出决定后,两人同时各出一张牌放在桌面上。

  这时,游戏的主持人便根据双方出牌的组合情况付给两人或其中一人奖金。根据两张牌的不同组合,支付奖金的规则如下:

  a.两人的出牌都是“合作”,两人从主持人那里各得3万元。

  b.两人的出牌都是“背叛”,两人从主持人那里各得1万元。

  c.两人中一方的出牌是“合作”,另一方的出牌是“背叛”,那么,出牌“背叛”的一方可以获得5万元,而出牌“合作”的一方什么也得不到。

  你在决定出什么牌时,当然想的是要尽可能多地获得奖金。你的对手也是如此。那么,你该选择怎样出牌呢?

  这个纸牌游戏是一个非常著名的叫做“囚徒困境”问题的简化版本。原来的问题是,抓获了两个共同犯罪的嫌疑人,他们每个人都在心中盘算是坦白交代罪行有利还是抗拒隐瞒罪行有利。这是一个真佯谬,是美国的一位研究者在1950年提出来的。这个问题提出来已经过去了60年,直到今天,在研究者之间仍然没有一个一致的答案。

  [纽卡佯谬]

  这里说的当然是在遥远的将来才可能出现的事情。有一天,有人发明了一种可以扫描人脑,能够完全知道别人在想些什么的机器。其他人借助这种机器,可以解读你的一切思想和记忆。不仅如此,他还可以准确地预知你的行为。

  为了显示这种机器如何灵验,假想让你来参加下面这个游戏。

  在你的面前摆放着两只箱子。一只箱子是透明的,可以看见里面放着1万元钱;另一只箱子为黑色,看不见里面藏着的东西。

  游戏的规则是,你要么选择“打开两只箱子”,要么选择“只打开黑色箱子”。打开箱子后,那里面的东西便全归你所有。不过,游戏的主持人掌握着那种扫描你的大脑的机器,能够对你打算“打开两只箱子”还是打算“只打开黑色箱子”作出预测。他会根据机器的预测提前用机关安排黑色箱子里放钱还是不放钱。如果预测到你打算打开两只箱子,他会让黑色箱子为“空”,什么也没有。如果预测到你打算只打开黑色箱子,则会在黑色箱子里放入100万元。

  在你之前,你已经看到有许多人玩过这个游戏,亲眼看见主持人的预测从未失误过。打开两只箱子,黑色箱子里什么也没有;只打开黑色箱子,里面有100万元。当然,主持人利用机关在黑色箱子里放入或者取走100万元之后,就不能再行更改。现在轮到你来玩这个游戏。你是打开两只箱子好呢,还是只打开黑色箱子好呢?

  这个佯谬是由美国物理学家威廉·纽卡提出来的,因而被称为“纽卡佯谬”。纽卡本人的思考结果是应该选择只打开黑色箱子。不过,他的结论并未被后来的研究者认可,究竟什么才是正确的答案,一直存在着不同看法。

  [突击考试佯谬]

  假定今天是2011年1月14日,星期五。你正在大学里上一堂逻辑学课。讲课结束时,教授向学生宣布:“我会在下周星期一到星期五搞一次突击考试。究竟在哪一天考试,我只会在当天上课前才告诉大家,你们是不可能知道的。”你为了应付这次突击考试,自然是认真听课,并进行复习。可是,你的一位朋友却说:“别担心,搞不成什么突击考试的。”他说得对还是不对呢?

  你的朋友是这样分析的。比如说,一直等到星期四都没有搞突击考试。于是,这次考试便只能安排在一周的最后一天星期五。可是,这就等于在头一天也就是星期四上课结束时大家都知道了第二天要进行考试。那么,这第二天进行考试就不是什么突击考试了。由此推断,星期五不会有考试。

  再来考虑直到星期三都没有搞突击考试的情况。由于星期五搞不成突击考试,便只有在星期四进行考试。可是,这也等于大家都知道了第二天要进行考试,不具有突击性。于是,星期四也不会有教授所说的考试。

  进行同样的分析,可以推断星期二和星期三也都不会进行考试。于是,只有可能在星期一进行考试。但是,这又等于在事前大家都知道要在星期一进行考试,这仍然不是教授所说的突击考试。如此看来,在下周无论哪一天都搞不成突击考试。你的朋友说对了。

  总算到了第二周1月21日星期五,如朋友的推测,昨天也就是星期四没有进行考试,今天也应该没有考试。然而,今天的逻辑课,教授走进课堂,没有上课,突然宣布:“现在开始进行突击考试!”你的朋友的那种推理方法究竟是正确的还是错误的呢?

  这是一个真佯谬。这其中有一类“博弈理论”,是利用在给定的规则下分析对抗双方利害关系的理论或者利用概率论来探讨各种可能的解决方法。不过,至今也还没有人找到最终的解决方法。

  对佯谬进行深入探讨有可能作出新的发现。例如讨论奥伯斯佯谬,通过推理得到了从地球上进行观测,只可能观测到数目有限的恒星的结论。那么,研究真佯谬又有什么意义呢?

  日本国学院大学文学部研究逻辑学和哲学的高桥昌一郎教授是这样介绍的:“真佯谬其实是一些用来搞清楚逻辑局限性的问题。不要以为讨论这些暂时没有答案的问题没有意义。挑战这种非常有趣的古怪问题能够开阔视野,产生新的思想。”